Video giải thích spin lượng tử so với nam châm cổ điển trong thí nghiệm Stern–Gerlach

Thí nghiệm Stern–Gerlach thực hiện bằng cách đẩy một chùm các hạt đi qua từ trường không đồng đều và quan sát sự lệch quỹ đạo của chúng trên màn chắn. Kết quả cho thấy các hạt sở hữu mômen động lượng lượng tử nội tại mà tương tự như mômen động lượng của các vật thể có chuyển động quay cổ điển, nhưng chỉ nhận các giá trị lượng tử nhất định. Một kết quả quan trọng khác đó là chỉ một thành phần của spin có thể đo được tại một thời điểm, có nghĩa rằng phép đo spin dọc theo trục z làm ảnh hưởng đến thông tin về spin của hạt dọc theo trục x và trục y.

Thông thường thí nghiệm sử dụng các hạt trung hòa điện hoặc nguyên tử. Điều này để tránh thu được độ lệch quá lớn bởi quỹ đạo hạt mang điện đi qua từ trường và cho phép hiệu ứng phụ thuộc vào spin có thể dễ dàng quan sát. Nếu coi hạt là lưỡng cực spin cổ điển, nó sẽ chịu sự tiến động trong từ trường bởi ngẫu lực (mômen xoắn) mà từ trường tác động lên lưỡng cực (xem tiến động cảm ứng từ lưỡng cực). Nếu hạt chuyển động trong từ trường đều, các lực tác dụng lên hai đầu của lưỡng cực sẽ triệt tiêu lẫn nhau và quỹ đạo của hạt không bị ảnh hưởng. Tuy nhiên, nếu từ trường là không đều thi lực tác dụng tại mỗi đầu của lưỡng cực sẽ hơi khác nhau một tý, do vậy tổng hợp lực xuất hiện làm lệch quỹ đạo của hạt. Nếu coi hạt là một vật thể quay cổ điển, thì sự phân bố của vec tơ mômen động lượng spin của các hạt trong chùm sẽ là ngẫu nhiên và liên tục. Mỗi hạt sẽ bị lệch bởi một lượng khác nhau, tạo ra sự phân bố các vết đều đặn trên màn dò. Nhưng thay vì thế, mỗi hạt truyền qua thiết bị của Stern–Gerlach hoặc bị lệch lên hoặc bị lệch xuống bởi một lượng xác định. Đây là phép đo về tính chất lượng tử quan sát được gọi là mômen động lượng spin, minh chứng các kết quả khả dĩ của một phép đo cho tính quan sát được có một tập rời rạc các giá trị hoặc phổ điểm (point spectrum). Mặc dù một số hiện tượng lượng tử rời rạc, như phổ nguyên tử, được quan sát từ trước đấy, thí nghiệm Stern–Gerlach đã cho phép các nhà vật lý lần đầu tiên thực hiện các đo đạc trên trạng thái lượng tử chồng chập một cách thận trọng trong lịch sử khoa học.

Bây giờ các nhà vật lý lý thuyết đã biết rằng mômen động lượng lượng tử của bất kỳ hạt nào có các giá trị rời rạc, mà đôi khi được miêu tả không chính xác là "mô men động lượng bị lượng tử hóa".

Nếu thí nghiệm thực hiện sử dụng các hạt mang điện như electron, thì sẽ có lực Lorentz làm lệch quỹ đạo thành một vòng tròn (xem chuyển động cyclotron). Có thể làm triệt tiêu lực này bằng một điện trường với độ lớn phù hợp hướng ngược với quỹ đạo của hạt mang điện.

Giá trị spin cho các fermion.

Electron là hạt spin-1⁄2. (Chú ý rằng thí nghiệm Stern-Gerlach đối với các electron là không thể làm được.[4][5]) Những hạt này chỉ có hai giá trị mômen spin động lượng đo theo một trục bất kỳ, +ħ/2 hoặc −ħ/2, một hiệu ứng kỳ lạ của cơ học lượng tử. Bởi vì giá trị của chúng luôn luôn như nhau, nó được coi như là một tính chất nội tại của electron, và đôi khi gọi là "mômen động lượng nội tại" (để phân biệt với mômen động lượng obitan, mà phụ thuộc vào sự có mặt của những hạt khác).

Để miêu tả thí nghiệm với các hạt spin +1⁄2 bằng toán học, cách dễ nhất là sử dụng ký hiệu bra-ket của Dirac. Khi các hạt bay qua từ trường không đều của thiết bị Stern–Gerlach, chúng được quan sát bằng máy dò cho biết mỗi hạt có spin lên hay spin xuống. Giá trị spin có thể miêu tả bằng số lượng tử mô men động lượng j, nó nhận một trong hai giá trị có thể là +ħ/2 hoặc −ħ/2. Khi thực hiện quan sát (đo đạc) động lượng dọc trục z chính là tương ứng với toán tử Jz. Trong ngôn ngữ toán học, trạng thái ban đầu của hạt bằng

| ψ ⟩ = c 1 | ψ j = + ℏ 2 ⟩ + c 2 | ψ j = − ℏ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}\left|\psi _{j=+{\frac {\hbar }{2}}}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{j=-{\frac {\hbar }{2}}}\right\rangle } ,

với hằng số c1 và c2 là các số phức. Trạng thái spin ban đầu có thể chỉ theo hướng bất kỳ. Bình phương của giá trị tuyệt đối (|c1|2 và |c2|2) cho xác suất đo được một trong hai giá trị của j đối với hệ có trạng thái ban đầu | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } . Các hằng số cũng phải được chuẩn hóa sao cho xác suất tìm được của một trong hai giá trị phải đảm bảo nhỏ hơn hoặc bằng đơn vị. Tuy thế, thông tin này chưa đủ để xác định các giá trị của c1 và c2, bởi vì chúng là các số phức. Do vậy phép đo chỉ thu được bình phương độ lớn các số, mà các nhà vật lý coi đó là biên độ xác suất.